はじめに Hoff (2009)およびHoff et al. (2022) 10.4.2 Why does the Metropolis-Hastings algorithm work? (メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムはなぜうまくいくのか) で行われている証明について、つまずいた点があったので自分の中の整理がてら書いてみます。 Hoffの証明の流れ Hoff (2009)およびHoff et al. (2022)では、 M-Hアルゴリズムによって生成されたマルコフ連鎖が目標分布\(p_0\)を近似できる理由の証明が以下の流れで行われています。 M-Hアルゴリズムは、 irreducible (非可約), aperiodic (非周期的), positive recurrent (正再帰的) なマルコフ連鎖を生成する。 Ergodic Theoremより、\(s \to \infty\)で \(\mathrm{Pr}(x^{(s)} \in A) \to \pi(A)\) for any set \(A\); \(\frac{1}{S} \sum g(x^{(s)}) \to \int g(x) \pi(x) dx\). を満たす\(\pi\)が一意に存在する。 このような\(\pi\)は定常分布と呼ばれ、以下の 性質 を持つ If \(x^{(s)} \sim \pi\), and \(x^{(s+1)} \) is generated from the Markov chain starting at \(x^{(s)}\), then \(\mathrm{Pr}(x^{(s+1)} \in A) = \pi(A)\). ...

久しぶりの投稿です。(読んでくれてる人はおそらく一人ですが) 自分の修論にアップデートを加えたものが、arXivにアップロードされました。 論文: Babasaki, K., Sugasawa, S., McAlinn, K. and Takanashi, K. (2024). Ensemble doubly robust Bayesian inference via regression synthesis. (arXiv:2409.06288) この論文では、 マクリン先生が作ったBayesian Predictive Synthesis (BPS)というアンサンブル手法を因果推論、特に平均因果効果(ATE)推定の文脈で拡張し、doubly robust Bayesian regression synthesis という手法を提案してます。 詳しくは論文を読んでもらえるとありがたいです。 この論文を読むうえでは以下の論文を読むことをお勧めします。 McAlinn, K. & West, M. (2019). Dynamic Bayesian Predictive Synthesis in Time Series Forecasting. (Journal of Econometrics 210: 155-169) Sugasawa, S., McAlinn, K., Takanashi, K. and Airoldi, E. A. (2023). Bayesian causal synthesis for meta-inference on heterogeneous treatment effect. (arXiv:2304.07726) この論文は慶應経済学研究科に設定されている計量経済学演習(マクリン先生)の授業を受けた際に書くことになりました。 ...

こんにちは。 大学のある授業で、中妻先生の名著『Pythonによる ベイズ統計学入門 (実践Pythonライブラリー)』 の 3.1 節までを友達のけいごくんと一緒にスライドにまとめて発表したので、そのスライドを公開します。 発表資料のリンク この資料は emacs の org-mode で作りました。 発表の内容とは関係なく、reveal.js や org-re-reveal の使い方を調べながら試行錯誤するのにとても時間がかかりました。 そのその甲斐あって、 1 番の目的であった、学部生に対してドヤ顔をかますことができました。 今度、暇なときに org-re-reveal の使い方や tips をまとめてみようと思います。 では、また今度。

Prove Proposition 0.4.11 (Inverse image of intersection, union) 1 \( f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) \) Proof: 1 To show \(f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B)\) \(x \in f^{-1}(A \cap B)\) を任意にとる。 すると、 \begin{align*} & f(x) \in A \cap B \qquad (\because \text{逆像の定義})\\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \text{ and } f(x) \in B \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A) \text{ and } x \in f^{-1}(B) \qquad (\because \text{逆像の定義}) \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \quad \square \end{align*} ...

Question \(E\) を\(A \subset E\) and \(B \subset E\)を満たす集合とし、 演算子\(\ast \) を以下で定義する。 \[ A \ast B = (E - A) \cap (E-B) \] このとき、 以下の a,b,c を、 \(A, B\), and \(\ast\)を用いて表せ。 a \(A \cup B\) b \(A \cap B\) c \(E - A\) Answer a \begin{align*} A \cup B &= E - ( \bar{A} \cap \bar{B} ) \\ &= E - \left\{ ( E - A) \cap (E-B) \right\} \\ &= E - A \ast B \\ &= (E - A \ast B) \cap (E - A \ast B) \\ &= (A \ast B) \ast (A \ast B) \end{align*} ...

はい、こんにちは。 今日は、3 つの正の数の相加相乗平均の不等式の証明をしていきます。 2 つの数の相加相乗平均の不等式の証明は、できているものとします。 ではやっていきましょう。 \(G = \sqrt[3]{xyz}\)、\(A = \frac{x+y+z}{3}\)とする。 \(G \leq A\)を示す。 1. \(x = y = z\) の場合 \begin{align*} G &= \sqrt[3]{xyz} = \sqrt[3]{x^3} = x \\ A &= \frac{x+y+z}{3} = \frac{3x}{3} = x \\ \therefore G &= A \end{align*} 2. \(x = y = z\) が成り立たない場合 一般性を失わず、 \begin{equation} \label{eq:1} z < A < y \end{equation} とできる。 2 つの正の数\(x\)と\(y+z-A\)について、すでに証明済みの 2 数の相加相乗平均を考える。 相乗平均(geometric mean) を\(g\)、 相加平均(arithmetical mean) を\(a\)とすると、 ...