Prove Proposition 0.4.11 (Inverse image of intersection, union)

1 f−1(A∩B)=f−1(A)∩f−1(B)

Proof:

1 To show f−1(A∩B)⊂f−1(A)∩f−1(B)

x∈f−1(A∩B) を任意にとる。 すると、

f(x)∈A∩B(∵逆像の定義)⇔f(x)∈A and f(x)∈B⇔x∈f−1(A) and x∈f−1(B)(∵逆像の定義)⇔x∈f−1(A)∩f−1(B)◻

2 To show f−1(A∩B)⊃f−1(A)∩f−1(B)

x∈f−1(A)∩f−1(B) を任意にとる。 すると、

x∈f−1(A) and x∈f−1(B)⇔f(x)∈A and f(x)∈B(∵逆像の定義)⇔f(x)∈A∩B⇔x∈f−1(A∩B)(∵逆像の定義)

1, 2 より、題意は示せた。

2 f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B)

Proof:

1 To show f−1(A∪B)⊂f−1(A)∪f−1(B)

x∈f−1(A∪B) を任意にとる。 すると、

f(x)∈A∪B(∵逆像の定義)⇔f(x)∈A or f(x)∈B⇔x∈f−1(A) or x∈f−1(B)(∵逆像の定義)⇔x∈f−1(A)∪f−1(B)◻

2 To show f−1(A∪B)⊃f−1(A)∪f−1(B)

x∈f−1(A)∪f−1(B) を任意にとる。 すると、

x∈f−1(A) or x∈f−1(B)⇔f(x)∈A or f(x)∈B(∵逆像の定義)⇔f(x)∈A∪B⇔x∈f−1(A∪B)◻(∵逆像の定義)

1, 2 より、題意は示せた。