3 つの数の相加相乗平均の不等式の証明
はい、こんにちは。 今日は、3 つの正の数の相加相乗平均の不等式の証明をしていきます。 2 つの数の相加相乗平均の不等式の証明は、できているものとします。 ではやっていきましょう。 \(G = \sqrt[3]{xyz}\)、\(A = \frac{x+y+z}{3}\)とする。 \(G \leq A\)を示す。 1. \(x = y = z\) の場合 \begin{align*} G &= \sqrt[3]{xyz} = \sqrt[3]{x^3} = x \\ A &= \frac{x+y+z}{3} = \frac{3x}{3} = x \\ \therefore G &= A \end{align*} 2. \(x = y = z\) が成り立たない場合 一般性を失わず、 \begin{equation} \label{eq:1} z < A < y \end{equation} とできる。 2 つの正の数\(x\)と\(y+z-A\)について、すでに証明済みの 2 数の相加相乗平均を考える。 相乗平均(geometric mean) を\(g\)、 相加平均(arithmetical mean) を\(a\)とすると、 ...