はい、こんにちは。
今日は、3 つの正の数の相加相乗平均の不等式の証明をしていきます。
2 つの数の相加相乗平均の不等式の証明は、できているものとします。
ではやっていきましょう。
\(G = \sqrt[3]{xyz}\)、\(A = \frac{x+y+z}{3}\)とする。
\(G \leq A\)を示す。
1. \(x = y = z\) の場合
\begin{align*} G &= \sqrt[3]{xyz} = \sqrt[3]{x^3} = x \\ A &= \frac{x+y+z}{3} = \frac{3x}{3} = x \\ \therefore G &= A \end{align*}
2. \(x = y = z\) が成り立たない場合
一般性を失わず、
\begin{equation} \label{eq:1} z < A < y \end{equation}
とできる。
2 つの正の数\(x\)と\(y+z-A\)について、すでに証明済みの 2 数の相加相乗平均を考える。 相乗平均(geometric mean) を\(g\)、 相加平均(arithmetical mean) を\(a\)とすると、
\begin{equation} \label{eq:3} \begin{aligned}[b] a &= \frac{1}{2} (x + y+z-A) \\ &= \frac{1}{2} (3A - A) \\ &= A \\ \\ g &= \sqrt{x(y+z+A)} \end{aligned} \end{equation}
よって、
\begin{equation} \label{eq:4} \begin{aligned} a &\ge g \\ \Leftrightarrow a^3 &\ge g^2 a \qquad &(\because a, g \text{は正の数})\\ \Leftrightarrow A^3 &\ge g^2 A \qquad &(\because a = A)\\ &= x(y+z-A)A \qquad &(\because \eqref{eq:3})\\ \end{aligned} \end{equation}
ここで、
\begin{equation} \label{eq:5} \begin{aligned} (y+z-A)A &= yA + zA - A^2 \\ &= (y-A)(A-z)+yz \\ &> yz \qquad (\because \eqref{eq:1}) \end{aligned} \end{equation}
\eqref{eq:4}, \eqref{eq:5}より、
\begin{aligned} A^3 &> xyz = G^3 \\ \therefore A &> G \end{aligned}
(1. \(x = y = z\) の場合), (2. \(x = y = z\) が成り立たない場合)より、題意は示せた。