Question
\(E\) を\(A \subset E\) and \(B \subset E\)を満たす集合とし、 演算子\(\ast \) を以下で定義する。 \[ A \ast B = (E - A) \cap (E-B) \]
このとき、 以下の a,b,c を、 \(A, B\), and \(\ast\)を用いて表せ。
- a
- \(A \cup B\)
- b
- \(A \cap B\)
- c
- \(E - A\)
Answer
-
a
\begin{align*} A \cup B &= E - ( \bar{A} \cap \bar{B} ) \\ &= E - \left\{ ( E - A) \cap (E-B) \right\} \\ &= E - A \ast B \\ &= (E - A \ast B) \cap (E - A \ast B) \\ &= (A \ast B) \ast (A \ast B) \end{align*}
-
b
\begin{align*} A \cap B &= \{E - (E-A) \} \cap \{E - (E-B) \} \\ &= (E-A) \ast (E-B) \\ &= \{(E-A) \cap (E-A)\} \ast \{(E-B) \cap (E-B)\} \\ &= (A \ast A) \ast (B \ast B) \end{align*}
-
c
\begin{align*} E - A &= (E - A) \cap (E - A) \\ &= A \ast A \end{align*}