Prove Proposition 0.4.11 (Inverse image of intersection, union)
1 \( f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) \)
Proof:
1 To show \(f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B)\)
\(x \in f^{-1}(A \cap B)\) を任意にとる。 すると、
\begin{align*} & f(x) \in A \cap B \qquad (\because \text{逆像の定義})\\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \text{ and } f(x) \in B \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A) \text{ and } x \in f^{-1}(B) \qquad (\because \text{逆像の定義}) \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \quad \square \end{align*}
2 To show \(f^{-1} (A \cap B) \supset f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) \)
\(x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\) を任意にとる。 すると、
\begin{align*} & x \in f^{-1}(A) \text{ and } x \in f^{-1}(B) \\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \text{ and } f(x) \in B \qquad (\because \text{逆像の定義}) \\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \cap B \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A \cap B) \qquad (\because \text{逆像の定義}) \end{align*}
1, 2 より、題意は示せた。
2 \(f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B)\)
Proof:
1 To show \(f^{-1}(A \cup B) \subset f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B)\)
\(x \in f^{-1}(A \cup B)\) を任意にとる。 すると、
\begin{align*} & f(x) \in A \cup B \qquad (\because \text{逆像の定義})\\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \text{ or } f(x) \in B \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A) \text{ or } x \in f^{-1}(B) \qquad (\because \text{逆像の定義}) \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \quad \square \end{align*}
2 To show \(f^{-1} (A \cup B) \supset f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B) \)
\(x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)\) を任意にとる。 すると、
\begin{align*} & x \in f^{-1}(A) \text{ or } x \in f^{-1}(B) \\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \text{ or } f(x) \in B \qquad (\because \text{逆像の定義}) \\ \Leftrightarrow & f(x) \in A \cup B \\ \Leftrightarrow & x \in f^{-1}(A \cup B) \quad \square \qquad (\because \text{逆像の定義}) \end{align*}
1, 2 より、題意は示せた。